El círculo cromático

El círculo de quintas está estrechamente relacionado al círculo cromático, que también dispone los 12 tonos del temperamento igual en un orden circular. Una diferencia fundamental entre los dos círculos consiste en que el círculo cromático puede interpretarse como un espacio continuo en el que cada punto del círculo corresponde a un tono concebible y cada tono concebible corresponde, a su vez, a un punto del círculo. Por el contrario, el círculo de quintas es fundamentalmente una estructura discreta en la que no existe una forma evidente de asignar un tono a cada uno de sus puntos. En este sentido, los dos círculos son matemáticamente bastante distintos.

No obstante, los 12 tonos del temperamento igual pueden ser representados mediante el grupo cíclico de orden 12 o, igualmente, mediante las clases del residuo de módulo 12,. El grupo  posee 4 generadores, que se pueden identificar como los semitonos ascendentes y descendentes y las quintas justas ascendentes y descendentes. El generador de semitonos da lugar a la escala cromática, mientras que la quinta justa da lugar al círculo de quintas.

Relación con la escala cromática

El círculo de quintas, o cuartas, puede trazarse a partir de la escala cromática mediante un proceso de multiplicación y viceversa. Para pasar del círculo de quintas a la escala cromática (en notación en números enteros), hay que multiplicar por 7 (M7), y para el círculo de cuartas es necesario multiplicar por 5 (P5).

A continuación, se incluye una demostración de este procedimiento. Se empieza con una tupla (secuencia de tonos) ordenada de 12 números enteros

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11)

que representan las notas de la escala cromática: 0 = do, 2 = re, 4 = mi, 5 = fa, 7 = sol, 9 = la, 11 = si, 1 = do♯, 3 = re♯, 6 = fa♯, 8 = sol♯, 10 = la♯. Entonces, se multiplica toda la tupla de 12 por 7:

(0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77)

y después se aplica una reducción del módulo 12 a cada uno de los números (se resta 12 a cada número tantas veces como sea necesario hasta que el número sea menor que 12):

(0, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5)

lo que equivale a

(do, sol, re, la, mi, si, fa♯, do♯, sol♯, re♯, la♯, fa)

que es el círculo de quintas. Cabe recordar que esto es en armónicamente equivalente a:

(do, sol, re, la, mi, si, sol♭, re♭, la♭, mi♭, si♭, fa)

Enarmonía

Las tonalidades situadas en la parte inferior del círculo de quintas se escriben frecuentemente con bemoles y sostenidos, intercambiándose entre sí fácilmente mediante el uso de enarmónicos. Por ejemplo, la tonalidad de si mayor, con 5 sostenidos, es el equivalente enarmónico de la tonalidad de do♭ mayor, con 7 bemoles. Pero el círculo de quintas no se detiene en 7 sostenidos (do♯) o 7 bemoles (do♭). Siguiendo el mismo patrón, se puede construir un círculo de quintas con todas las tonalidades de sostenidos, o con todas las de bemoles.

Después de do♯ menor, viene la tonalidad de sol♯ menor (siguiendo el patrón de desplazarse a una quinta ascendente y, al mismo tiempo, equivalente enarmónico de la tonalidad de la♭ menor). El octavo sostenido se sitúa en el fa♯, con lo que se convierte en fa (doble sostenido). La tonalidad de re♯ menor, con 9 sostenidos, tiene otro sostenido situado en el do♯, lo que lo convierte en do. Las armaduras con bemoles funcionan de la misma manera: la tonalidad de mi mayor (4 sostenidos) es equivalente a la tonalidad de fa♭ mayor (una vez más, una quinta por debajo de la tonalidad de do♭ mayor, siguiendo el patrón de las armaduras con bemoles. El último bemol se sitúa en el si♭, convirtiéndolo en si.)

Círculo de quintas

En teoría musical, el círculo de quintas (o círculo de cuartas) representa las relaciones entre los doce tonos de la escala cromática, sus respectivas armaduras de clave y las tonalidades relativas mayores y menores. Concretamente, se trata de una representación geométrica de las relaciones entre los 12 tonos de la escala cromática en el espacio entre tonos. Dado que el término «quinta» define un intervalo o razón matemática que constituye el intervalo diferente de la octava más cercano y consonante, el círculo de quintas es un círculo de tonos o tonalidades estrechamente relacionados entre sí. Los músicos y los compositoresusan el círculo de quintas para comprender y describir dichas relaciones. El diseño del círculo resulta útil a la hora de componer y armonizar melodías, construir acordes y desplazarse a diferentes tonalidades dentro de una composición.

La tonalidad de do mayor, que no tiene ni sostenidos ni bemoles, se sitúa al inicio del círculo. Siguiendo el círculo de quintas ascendentes a partir de do mayor, la siguiente tonalidad, sol mayor, tiene un sostenido; a continuación, re mayor tiene 2 sostenidos, y así sucesivamente. De la misma manera, si se avanza en sentido contrario a las agujas del reloj desde el principio del círculo mediante quintas descendentes, la tonalidad de re menor tiene un bemol, sol menor tiene 2 bemoles, y así sucesivamente. Al final del círculo, las tonalidades de sostenidos y de bemoles se superponen, con lo que aparecen pares de armaduras de tonalidades enarmónicas.

Empezando desde cualquier altura del ciclo y ascendiendo mediante intervalos de quintas temperadas iguales, se va pasando por todos los doce tonos en el sentido del reloj, para terminar regresando al tono inicial. Para recorrer los doce tonos en sentido contrario al reloj, es necesario ascender mediante cuartas, en lugar de quintas. La secuencia de cuartas da al oído una sensación de asentamiento o resolución (véasecadencia).

La importancia de entender la canción

Entender la teoría musical puede ayudarte a tocar cualquier instrumento o cantar con bastante práctica, desde luego; pero no te hará un músico real, tal como se entiende a nivel profesional. La música real va más allá de todo el talento o excelencia técnica que se posea al cantar o tocar un instrumento. La música requiere de personas suficientemente sensibles como para entender qué están tocando o cantando y poder transmitir lo que el autor del tema tuvo en mente al componerlo. Después de todo, la música es arte y merece ser tratada como tal.

Este es un detalle que los músicos no profesionales olvidan con frecuencia, así que quería remarcarlo en algún lado.Los aspirantes a músicos deben siempre llevar sus estudios más allá de las clases de piano o los ensayos de canto.Deben entender qué están tocando o cantando; qué vivía o experimentaba el compositor cuando creó la canción. El no hacerlo a menudo hace que las personas toquen una melodía de Bach sin darle esa pesada casi oscura sensación barroca por la que su música es conocida. El no hacerlo hace que uno termine cantando una canción que expresa odio por infidelidad como si fuese una balada romántica.

También es por esto que la presencia de un director musical es importante para todos los grupos musicales, sean estos pequeños coros o grandes orquestas sinfónicas. En caso de dudas o ambigüedad, es él quien toma la decisión final sobre cómo sonará una canción ante una audiencia.

Un músico de verdad es una persona culta. Todo aspirante debe tenerlo siempre presente.

RELACIÓN DE LA MÚSICA CON LAS MATEMÁTICAS

Las notas en el pentagrama:

En el pentagrama se considera que cada línea o espacio representa la posición de una nota. Para saber qué nota corresponde a cada posición, los músicos utilizan una clave como estándar. Son tres las claves populares hoy en día: la clave de sol o de agudos indica que la nota sol está en la segunda línea; la clave de fa o bajos indica que la nota fa está en la cuarta línea; y la nota do o de altos indica que la nota do está en la tercera línea.

En todas los pentagramas, las líneas se cuentan de abajo hacia arriba, y los bemoles y sostenidos se expresan con los símbolos # y b, respectivamente.

Las notas se escriben de abajo a arriba y de la primera línea (la que está en la parte inferior del arreglo) a la última (la que está en la parte superior del arreglo). En caso sea necesario escribir una nota que se encuentra sobre o bajo el arreglo, se utilizan líneas auxiliares para indicarlo. En la teoría, los pentagramas son infinitos. En la práctica no lo son, puesto que el oído humano tiene sus límites.

A manera de ejemplo, esta imagen muestra cómo se acomodan las notas de do a do en los tres pentagramas más utilizados.

 

Ahora que entiendes qué es un pentagrama y cuáles son las posiciones de las notas en él, imaginemos que vamos a escribir uno para aprender cómo se prepara y lee un pentagrama también.

Coloca la clave

Todo inicia por colocar la clave. Esto indicará cuál nota es cuál en cada posición.

Colocar la armadura

Lo siguiente es colocar la armadura. Esta indica en qué tonalidad se tocará la canción. Aquí tienes una lista:

+ Sin sostenidos o bemoles – do mayor o la menor

+ Un sostenido – sol mayor o mi menor

+ Dos sostenidos – re mayor o si menor

+ Tres sostenidos – la mayor o fa menor sostenido

+ Cuatro sostenidos – mi mayor o do menor sostenido

+ Cinco sostenidos – si mayor o sol menor sostenido

+ Seis sostenidos – fa mayor sostenido o re menor sostenido

+ Siete sostenidos – do mayor sostenido o la menor sostenido

+ Un bemol – fa mayor o re menor

+ Dos bemoles – si mayor bemol o sol menor

+ Tres bemoles – mi mayor bemol o do menor

+ Cuatro bemoles – la menor bemol o fa menor

+ Cinco bemoles – re mayor bemol o si menor bemol

+ Seis bemoles – sol mayor bemol o mi menor bemol

+ Siete bemoles – do mayor bemol o la menor bemol

Prueba identificarlas en el gráfico.

La armadura afecta a todas las notas en las líneas donde los símbolos sostenido y bemol son colocados. Así, si eliges componer una canción en fa mayor —y, por lo tanto, utilizar una armadura con una bemol en si— todas las notas si serán bemoles sin necesidad de símbolos adicionales. Si por casualidad necesitases un si normal en la canción (y no bemol), necesitarás usar un símbolo becuadro para cancelar el bemol en ese compás.

Quien aprende música por lo general se pregunta si hay alguna forma de memorizarlos con facilidad. Hay una, mas no es infalible. Consiste en contar. Cuenta cinco notas, comenzando desde el do, hacia adelante o atrás tantas veces como hayan símbolos en la armadura. Por ejemplo, si la armadura tiene tres sostenidos, entonces contarás do, re, mi, fa, sol para el primero; sol, la, si, do, re para el segundo; re, mi, fa, sol, la para el tercero. La armadura corresponderá a un la mayor. Si la armadura tiene dos bemoles, entonces contarás do, si, la, sol, fa para el primero; y fa, mi, re, do, si para el segundo. Teniendo en cuenta que la distancia entre do y si es solo un semitono, entonces la armadura corresponderá a un si mayor bemol.

El pentagrama y la partitura

El pentagrama y la partitura:

Un pentagrama es un pequeño conjunto de cinco líneas paralelas, horizontales sobre los cuáles los músicos escriben y leen música.

Debes saber que el pentagrama no siempre ha sido de cinco líneas. Los pentagramas antiguos tenían once. Los pentagramas para los cantos gregorianos tienen cuatro. Los pentagramas de cinco líneas se originaron cuando los músicos simplificaron el de once eliminando la línea central. La línea central es la que da el espacio a la nota do medio.

Hoy los músicos utilizan claves para especificar el orden en que las notas son distribuidas en el pentagrama, permitiéndoles recrear el pentagrama de once líneas a través de dos pentagramas paralelos con claves de sol y fa, de ser necesario.

CIRCULO ARMÓNICO DE PITAGORAS

Círculos armónicos:

Ahora que tienes una idea de cómo utilizar tanto notas como acordes, queda solo un tema por aprender. Estoy hablando de los círculos armónicos de acordes. Después de todo, son quizá las combinaciones de acordes que con más frecuencia utilizarás durante una canción.

Hay tres círculos: mayor, menor y armónico.

Círculo mayor:

Incluye a do mayor, la menor, fa mayor y sol mayor. Transporta a partir de allí:

C – Am – F – G
D – Bm – G – A
E – Cm# – A – B
F – Dm – A# – C
G – Em – C – D
A – Fm# – D – E
B – Gm# – E – F#

Círculo menor:

Incluye a la menor, re menor y a mi mayor, menor o sétima. Transporta a partir de allí:

Am – Dm – E
Bm – Em – F#
Cm – Fm – G
Dm – Gm – A
Em – Am – B
Fm – Am# – C
Gm – Cm – D

Círculo armónico:

El círculo armónico incluye a los siguientes acordes: do mayor, re menor, mi menor, fa mayor, sol mayor, la menor y si menor bemol quinta. Este último acorde incluye a las notas si, fa sostenido y re sostenido.

C – Dm – Em – F – G – Am – Bmb5
D – Em – Fm# – G – A – Bm – C#mb5
E – Fm# – Gm# – A – B – Cm# – Dmb5
F – Gm – Am – Bb – C – Dm – Emb5
G – Am – Bm – C – D – Em – F#mb5
A – Bm – Cm# – D – E – Fm# – G#mb5
B – Cm# – Dm# – E – F# – Gm# – A#mb5

Los círculos armónicos durante las canciones

En muchas canciones se inicia con un círculo armónico y se termina en el mismo círculo armónico, pero esto no significa que no puedas hacer un cambio si lo deseas. Los compositores lo hacen todo el tiempo.

CRÓNICAS DE MATEMÁTICAS

Un mal 

matemático que aqueja a la gran mayoría!

En algún momento podría afirmar que cualquier persona, ha tenido un cierto pavor a las matemáticas, y quizás no es tanto por la complejidad de las operaciones que se encuentre abordando, si no, de alguna manera podría afirmar que los miedos, son causados en su mayoría por las estrategias establecidas para su enseñanza, siendo un tanto fastidiosas y aburridas, y también recordando que en su mayoría no se explican los procesos correctamente, dando como resultado, que no se propicie un aprendizaje significativo, por el contrario dandi un todo mecánico, pero de alguna manera sin una verdadera comprensión.

Tenemos una mala cultura de inculcar el paradigma a los niños de que las matemáticas son pesadas, difíciles y complicadas, en lugar de que aprendan jugando y se hagan divertidas, sin duda no puedo omitir que es una materia que pocas personas saben impartir de manera amena y práctica, de alguna manera porque la imparten más por obligación que por gusto o por una falta de comprensión del propio docente.

De alguna manera no puede olvidarse que también influye mucho el miedo que se tiene a esta materia, ya que siempre es donde más se reprueba, en otras ocasiones desgraciadamente algunos maestros buscan atormentar a los niños, en lugar de optar por técnicas que inspiren confianza a los niños, y con esto permitir que se disfrute de las matemáticas.
La mayoría de los docentes regulares, se han olvidado que las estrategias de enseñanza son las formas o los medios de los que se vale para obtener su objetivo, el cual es que el grupo aprenda el contenido que se esté abordando.

Una estrategia de enseñanza sería por ejemplo, usar láminas de colores, a cada paso de la ecuación u operación otorgándole un color para que el alumno se le grabe el color y así asimile el paso, pero siempre explicando el porqué del resultado, para que para el alumno sea verdaderamente enriquecedor.


Las matemáticas rigen al mundo donde emergemos, esto sin duda alguna me atrevo a mencionarlo, puesto que la gente suele sorprenderse, ya que en un momento dado no relacionan que al comprar 2 kg de PAPAS, el vendedor hace una regla de tres simple, para cobrar y una resta para darle su cambio, esto es importante pues no debería omitirse, ya que no se debe dejar atrás que se pueden impartir a partir de lo más cotidiano.

El tema de la enseñanza, pasa por la cerrazón y en su mayoría el tradicionalismo de los docentes, ya que se tiende a dar fórmulas abstractas, teoremas incomprensibles, procedimientos que en vez de ser deductivos, se transforman en burdas "memorizaciones" y NO SE ENSEÑA A RAZONAR. 

El manejo de la Ecuación debería iniciarse en la niñez, esto encaminado a encontrar los caminos para hallar un resultado, para lo anterior tendrían que ser imaginados e investigados por el alumno, de alguna manera con el andamiaje del profesor, el cual no siempre tendrá la razón absoluta, dando como resultado una retro-alimentación, donde ambos personajes participen y se convierta en un momento un tanto agradable.La matemática, es el arte de resolver problemas y sin creatividad, no hay creación, sino "copia". Todo discípulo necesita un buen maestro, y quizás con el tiempo ´éste será superado, ¿qué sucede con los profesores que imparten esta materia?, a mi ver, ha sido porque no tienen un libre pensamiento que los desestructure de reglas inútiles, no saben relajarse y dejarse llevar por el cerebro del alumno, se asustan ante los cambios o "anormalidades" de comportamientos o reflexiones y LIMITAN, en vez de abrir canales de curiosidad y recreación, si tan solo nos pusiéramos por unos minutos en el pensamiento que el niño u adolescentes, sería más fácil al impartirlas, pues así comprenderíamos el grado de dificultad que tiene para el alumno, pero sin embargo lo único a lo que se dedican los docentes es a escupir la información, sin dar verdaderas explicaciones sobre las dudas y asimilaciones del alumnado.

Estadística matemática

La estadística matemática es escala previa en el estudio de la estadística desde un punto de vista puramente formal, usando la teoría de la probabilidad y otras ramas de la matemática tales como álgebra lineal y análisis matemático. La estadística matemática trata de la obtención de información a partir de los datos. En la práctica tales datos contienen cierta aleatoriedad o incertidumbre. La estadística trabaja con estos datos usando los métodos de la teoría de la probabilidad.

La estadística matemática se divide en:

• Estadística descriptiva: parte que se encarga de describir los datos, esto es, de realizar un resumen y describir sus propiedades típicas.

• Inferencia estadística: parte que elabora conclusiones a partir de una muestra de los datos, en otras palabras, comprueba el ajuste de los datos a determinadas condiciones y proporciona una medida de la bondad de los mismos en términos probabilísticos.

La estadística matemática es la base teórica para muchas prácticas en la estadística aplicada.

ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN

               ¿Quien fue Arquimides?

- Matemático de la antigüedad, es recordado por el Principio de Arquímedes y por sus aportes a la cuadratura del círculo, el estudio de la palanca, el tornillo de Arquímedes, la espiral de Arquímedes y otros aportes a la matemática, la ingeniería y la geometría.

El volumen de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro que lo contiene:

Método de aproximación del número π de Arquímedes

Hijo del astrónomo Fidias, quien probablemente le introdujo en las matemáticas, Arquímedes estudió en Alejandría, donde tuvo como maestro a Conón de Samos y entró en contacto con Eratóstenes; a este último dedicó Arquímedes su Método, regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico.

Durante el asedio de Siracusa por el general romano Marcelo, Arquímedes, a pesar de no ostentar cargo oficial alguno se puso a disposición de Hierón, llevando a cabo prodigios en defensa de su ciudad natal, pudiéndose afirmar que él sólo sostuvo la plaza contra el ejército romano. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la catapulta y un sistema de espejos y lentes que incendiaba los barcos enemigos al concentrar los rayos del Sol; según algunos historiadores, era suficiente ver asomar tras las murallas algún soldado con cualquier objeto que despidiera reflejos brillantes para que cundiera la alarma entre el ejército sitiador. Sin embargo, los confiados habitantes de Siracusa, teniéndose a buen recaudo bajo la protección de Arquímedes, descuidaron sus defensas, circunstancia que fue aprovechada por los romanos para entrar al asalto en la ciudad.

A pesar de las órdenes del cónsul Marco Claudio Marcelo de respetar la vida del sabio, durante el asalto un soldado que lo encontró abstraído en la resolución de algún problema, quizá creyendo que los brillantes instrumentos que portaba eran de oro o irritado porque no contestaba a sus preguntas, le atravesó con su espada causándole la muerte. Otros datos dicen que, haciendo operaciones en la playa, unos soldados romanos pisaron sus cálculos, cosa que acabó en discusión y la muerte por espadazo por parte de los romanos. Se dice que sus ultimas palabras fueron "no molestes a mis círculos".

La obra Sobre la esfera y el cilindro, fue su teorema favorito, que por expreso deseo suyo se grabó sobre su tumba.

Aunque probablemente su contribución científica más conocida sea el principio de la hidrostática que lleva su nombre, el Principio de Arquímedes, no fueron menos notables sus disquisiciones acerca de la cuadratura del círculo, el descubrimiento de la relación aproximada entre la circunferencia y su diámetro, relación que se designa hoy día con la letra griega π (pi).

Arquímedes demostró que el lado del hexágono regular inscrito en un círculo es igual al radio de dicho círculo; así como que el lado del cuadrado circunscrito a un círculo es igual al diámetro de dicho círculo. De la primera proposición dedujo que el perímetro del hexágono inscrito era 3 veces el diámetro de la circunferencia, mientras que de la segunda dedujo que el perímetro del cuadrado circunscrito era 4 veces el diámetro de la circunferencia.

Afirmó además que toda línea cerrada envuelta por otra es de menor longitud que ésta, por lo que la circunferencia debía ser mayor que tres diámetros pero menor que cuatro. Por medio de sucesivas inscripciones y circunscripciones de polígonos regulares llegó a determinar el valor aproximado de π como:

Con los rudimentarios medios de los que disponía el sabio griego, el error absoluto que cometió en el cálculo de π resultó ser inferior a una milésima (0,0040 %).

Sin embargo, Arquímedes es más conocido por enunciar el principio que lleva su nombre:

Principio de Arquímedes: todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.

Cuenta la historia que Hierón, el antes citado monarca de Siracusa, hizo entrega a un platero de la ciudad de ciertas cantidades de oro y plata para el labrado de una corona. Finalizado el trabajo, Hierón, desconfiado de la honradez del artífice y aún reconociendo la calidad artística de la obra, solicitó a Arquímedes que, conservando la corona en su integridad, determinase la ley de los metales con el propósito de comprobar si el artífice la había rebajado, guardándose para sí parte de lo entregado impulsado por la avaricia, la misma, con seguridad, que al propio Popin impelía a realizar semejante comprobación.

Preocupado Arquímedes por el problema, al que no encontraba solución, un buen día al sumergirse en el baño advirtió, como tantas veces con anterioridad, que a causa de la resistencia que el agua opone, el cuerpo parece pesar menos, hasta el punto que en alguna ocasión incluso es sostenido a flote sin sumergirse. Pensando en ello llegó a la conclusión que al entrar su cuerpo en la bañera, ocupaba un lugar que forzosamente dejaba de ser ocupado por el agua, y adivinó que lo que él pesaba de menos era precisamente lo que pesaba el agua que había desalojado.

Dando por resuelto el problema que tanto le había preocupado fue tal su excitación que, desnudo como estaba, saltó de la bañera y se lanzó por las calles de Siracusa al grito de ¡Eureka! ¡Eureka! (¡Lo encontré! ¡Lo encontré!). Procedió entonces Arquímedes a pesar la corona en el aire y en el agua comprobando que en efecto, su densidad no correspondía a la que hubiera resultado de emplear el artífice todo el oro y la plata entregados y determinando, en consecuencia, que éste había estafado al Rey.

No se agota con esta anécdota el talento de Arquímedes que, además, se anticipó al descubrimiento del cálculo integral con sus estudios acerca de las áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas; realizó un exhaustivo estudio de la espiral uniforme, conocida como espiral de Arquímedes; determinó el resultado de la serie geométrica de razón 1/4, el más antiguo del que se tiene noticia; creó un sistema numérico posicional para escribir números muy grandes; inventó una máquina para la elevación de agua, el tornillo de Arquímedes, así como la balanza que lleva su nombre; enunció la ley de la palanca lo que le llevó a proferir la célebre frase Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo; inventó la polea compuesta, basada en el principio de la palanca, empleándola para mover un gran barco para sorpresa del escéptico Hierón.

Para él, su mayor descubrimiento fue demostrar que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe, descubrimiento que pidió que fuera grabado en su tumba, según cuenta Plutarco. Cuarenta años después, el historiador romano Cicerón encontró la tumba gracias al grabado. Actualmente la tumba esta otra vez perdida.

Arquímedes fue autor de numerosas obras de variada temática en las que destaca el rigor de sus demostraciones geométricas, razón por la que es considerado el más notable científico y matemático de la Antigüedad. Aunque muchos de sus escritos se perdieron en la destrucción de la Biblioteca de Alejandría, han llegado hasta la actualidad a través de las traducciones latinas y árabes. Aquí se indican algunas de ellas:

• El arenario.
• La medida del círculo.
• De la esfera y el cilindro.
• De la cuadratura.
• De la Parábola.
• De los esferoides y conoides.
• De las espirales.
• Determinación de los centros de gravedad en las líneas y en los planos.
• Del equilibrio de los cuerpos en los fluidos.
• El método.
• De los métodos mecánicos en la geometría (Palimpsesto de Arquímedes).

ENCUESTAS A DOCENTES 2015

El trabajo en equipo es la habilidad para trabajar juntos hacia una visión común. La habilidad de dirigir logros individuales hacia objetivos organizacionales. Es el combustible que permite a la gente común conseguir resultados poco comunes.

1.1 Este trabajo consistió en encuestar a cada docente de la I.E San Martín de Porres con el fin de dar a entender sus reclamos y la mejoría del colegio a través de los años 

Nuestra querida profesora Marlene Navarrete apoyándonos en tabular  las encuestas a los docentes 2015

Los alumnos de la promoción 2015 apoyando al conteo 

Realizando el conteo de las hojas encuestadas

Debatiendo sobre las respuestas escogidas

FERIA DEL LOGRO 2015

Los alumnos de la I.E San Martín de Porres mostrando sus proyectos

En plena exposición de los materiales elaborados en todo el trimestre 

                                                                    

Feria del Logro 2015:

-En la cual los alumnos del Colegio San Martin de Porres de Magdalena del Mar demuestran sus proyectos realizados  durante todo el año.

Muchos colegios de la zona y de diferentes distritos limeños quedaron asombrados de tantos experimentos hechos con objetos reciclables . 

Unos de los proyectos que encanto en la feria fue el Circulo Armónico,ya que va con relación a la música con la matemática el cual fue descubierta por Pitagoras.


En esta feria los alumnos dan a conocer sus capacidades y habilidades por las matemáticas , en especial reconocer los inventos de  grandes matemáticos como Pitagoras , Arquimides, entre otros  

Conociendo    la   vida    de    PITÁGORAS 

- Pitágoras nació en la isla de   Samos (Grecia), en el 570 a. C. y murió en Metaponto en el 469 a. C., hijo de Mnesarco. Fue discípulo de Tales  y de Fenecidas de Siria, estudió en la escuela de Mileto. Viajó por Oriente Medio (Egipto y Babilonia). Sufrió el exilio para escapar de la tiranía del dictador Samio Polícrates, por lo que vagabundeó hasta establecerse  en el 531 a. C. en las colonias italianas de Grecia donde fundó su famosa escuela pitagórica en Crotona al sur de Italia. Se cree que inventó (si no él sus discípulos), las tablas de multiplicar y que fue el primero en demostrar el conocido Teorema de Pitágoras sobre la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, aunque ya los egipcios y los babilonios lo usaban en sus cálculos, construcciones, etc, pero sin haberlo demostrado.

Las Matemáticas de los pitagóricos:

Como hemos dicho más arriba se les atribuyen numerosos e importantes descubrimientos en el terreno de las Matemáticas. Vamos a destacar algunos:

 El teorema de Pitágoras
Se atribuye a la escuela pitagórica la demostración del Teorema de Pitágoras. Como hemos dicho más arriba, ya los babilonios y los egipcios, usaban con una eficacia asombrosa, la relación establecida en el Teorema de Pitágoras para resolver problemas prácticos, pero no conocían la demostración.

 Los números irracionales:Como consecuencia del Teorema de Pitágoras, también se les considera descubridores de los números irracionales. Estos números contradecían la doctrina básica de la escuela: habían descubierto que existían números "inexpresables",  como  , que no eran ni enteros ni fraccionarios.
 Clasificaciones de los números:
La obsesión por los números y la adoración que les profesaban, condujeron a los pitagóricos a un estudio minucioso de los números. Establecieron diversas clasificaciones, entre otras la distinción entre pares e impares tal y como lo hacemos hoy, también otras más curiosas. Hemos elegido algunas de ellas y te proponemos que las pienses para divertirte un rato:

 Números triangulares: Son números naturales que se pueden expresar en forma de triángulo, tal y como los de la figura siguiente:



• Números cuadrados: De igual forma que los anteriores, son números que se pueden expresar en forma de cuadrados como en la figura siguiente: